渐开线圆柱齿轮参数在线计算器
输入模数、齿数、压力角与变位系数，即可算出分度圆、齿顶圆、齿根圆、基圆直径、公法线长度（含跨齿数）、
跨棒距与配对中心距。计算依据 GB/T 1356《通用机械和重型机械用圆柱齿轮 标准基本齿条齿廓》的齿顶高系数 ha*=1、
顶隙系数 c*=0.25，啮合角由渐开线函数反解求得。适用于齿轮测绘复核、图纸参数校验与非标齿轮设计前期估算。
单齿轮计算结果
| 分度圆直径 d | — |
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| 齿顶圆直径 da | — |
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| 齿根圆直径 df | — |
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| 基圆直径 db | — |
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| 齿顶高 ha / 齿根高 hf | — |
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| 全齿高 h | — |
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| 分度圆齿距 p / 基节 pb | — |
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| 分度圆齿厚 s | — |
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| 跨齿数 k（推荐） | — |
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| 公法线长度 Wk | — |
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| 跨棒距 M（参考） | — |
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公法线长度按 W=m·cosα·[(k−0.5)·π+z·invα]+2·x·m·sinα 计算，跨齿数取 k≈z·α/180°+0.5 后圆整。
量棒直径推荐取 dp≈1.68·m（使接触点落在分度圆附近），本页默认已按 m=2 设为 3.36；
跨棒距结果含量棒与齿廓接触点反解，用于估算，量产检验请以三坐标或专用量仪实测为准。
配对结果
| 标准中心距 a | — |
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| 实际中心距 a' | — |
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| 啮合角 α' | — |
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| 总变位系数 x₁+x₂ | — |
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| 中心距变动系数 y | — |
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| 齿顶高变动系数 Δy | — |
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| 传动比 i | — |
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| 重合度 ε（参考） | — |
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重合度按无侧隙外啮合近似式估算（含齿顶圆压力角），未计入齿顶修形与中心距偏差，
用于判断连续传动条件（通常要求 ε>1.2）。
一、这些参数到底怎么算的
渐开线圆柱齿轮的几何尺寸全部由模数 m、齿数 z、压力角 α、变位系数 x 四个基本量决定。
其中模数决定轮齿的大小（已标准化），齿数决定传动比，压力角决定齿廓形状，变位系数用于配凑中心距、
避免根切或改善齿根强度。
基本尺寸
d = m · z
da = d + 2·(ha* + x) · m
df = d − 2·(ha* + c* − x) · m
db = d · cos α
p = π · m pb = p · cos α
s = m · (π/2 + 2·x·tan α)
标准齿廓下 ha*=1、c*=0.25，因此标准齿轮（x=0）的齿顶圆为 m(z+2)、齿根圆为 m(z−2.5)。
这正是测绘时"数出齿数、量出齿顶圆"就能反推模数的依据：m ≈ da/(z+2)。
公法线长度（车间最常用的检测量）
inv α = tan α − α （α 取弧度）
k ≈ z · α/180° + 0.5 （圆整到整数）
Wk = m · cos α · [ (k − 0.5)·π + z · inv α ] + 2 · x · m · sin α
公法线长度用公法线千分尺跨 k 个齿测量，是判断是否"齿厚合格、有无变位"的最快手段。
测绘旧齿轮时，测两个不同跨齿数的公法线值（Wk 与 Wk+1），两者之差即基节 pb=π·m·cosα，
由此可直接反推模数与压力角——这是齿轮测绘里最实用的一招。
中心距与啮合角
inv α′ = inv α + 2·(x₁+x₂)·tan α / (z₁+z₂)
a′ = a · cos α / cos α′ ， a = m·(z₁+z₂)/2
y = (a′ − a)/m ， Δy = (x₁+x₂) − y
当总变位系数 x₁+x₂=0（高度变位）时中心距不变；x₁+x₂≠0（角度变位）时中心距改变，
需要用渐开线函数反解啮合角 α′。本页计算器用牛顿迭代求解 inv 的反函数，收敛精度 1e-14。
二、常用模数系列与齿数选择
模数必须取标准值，否则刀具、滚刀都配不到。第一系列优先选用：
| 优先选用 | 0.5 | 0.8 | 1 | 1.25 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
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| 可用于大模数 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 | 12 | 16 | 20 |
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- 避免根切：标准齿条型刀具加工，α=20°、ha*=1 时不发生根切的最少齿数 zmin=17；
若必须少于 17 齿，需要正变位，xmin=(17−z)/17。
- 小齿数优先正变位：既避免根切，又能提高齿根弯曲强度、降低齿面接触应力。
- 中心距凑整数：设计时常用角度变位把中心距凑成整数（如 50、63、80），方便箱体加工。
- 齿数互质：让两轮齿数互为质数（如 19 与 41），磨损更均匀。
三、测绘旧齿轮时的核对顺序
- 数齿数 z，量齿顶圆 da（用游标卡尺跨齿顶测量，取多点平均）。
- 由 da ≈ m(z+2) 初判模数，对照标准模数系列取最接近值。
- 测公法线 Wk 与 Wk+1，求差得基节 pb，校核 m 与 α（α=20° 时 pb≈2.952·m）。
- 量跨棒距或齿根圆，反推变位系数 x。
- 量两轴中心距 a′，校验与计算值是否吻合，偏差大说明原设计有角度变位或中心距修正。
- 记录齿宽、内孔、键槽、材料与热处理要求，最后出 2D 工程图与 3D 模型。
测绘件往往带磨损、倒角与修形，量到的齿顶圆与齿厚会比理论值偏小，
建议以公法线与中心距两个"不受齿顶磨损影响"的量为准。
四、什么时候需要找专业设计
如果您手上是一个没有图纸的旧齿轮、进口设备配件、或者需要改齿数/改模数适配新工况，
单纯算出几何参数还不够——还要校核弯曲强度、接触强度、侧隙、精度等级与公差（GB/T 10095）、
以及键槽、轴孔配合与箱体中心距公差。我们的齿轮设计服务就是把测绘数据变成可直接投产的
3D 模型 + 2D 工程图 + 线割 DXF，并附强度校核结果。
使用说明：本计算器结果用于工程估算与图纸复核。齿轮量产前请按 GB/T 10095 明确精度等级与公差，
并以专业齿轮设计软件（或本站配套的 TJStudio 齿轮模块）完成齿廓生成与干涉检查。
